حل تمرین صفحه 100 ریاضی نهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم - مسئله کاربردی **کاربرد معادله خطی در فیزیک** در این مسئله، یک فرمول ریاضی (معادله خط) رفتار فیزیکی فنر را توصیف می‌کند: * $x$: جرم وزنه (کیلوگرم) * $y$: طول کل فنر (سانتی‌متر) مسئله از ما می‌خواهد طول فنر ($y$) را وقتی که جرم وزنه ۵ کیلوگرم است ($x=5$) حساب کنیم. **محاسبه:** کافی است در رابطه داده شده، به جای $x$ عدد ۵ را قرار دهیم: $$y = 0.8(5) + 10$$ $$y = 4 + 10$$ $$y = 14$$ **پاسخ:** طول فنر **۱۴ سانتی‌متر** خواهد شد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۰ - تمرین ۳ **تحلیل نمودارهای رشد** **پاسخ صحیح:** نمودار **سوم از سمت راست** (نموداری که از بالا شروع می‌شود، منحنی است و سپس صاف می‌شود) صحیح است. **توصیف و تحلیل نمودار:** ۱. **محل برخورد با محور $y$ (عرض از مبدأ):** نمودار نباید از صفر شروع شود، زیرا قد انسان هنگام تولد صفر نیست (نوزاد معمولاً حدود ۵۰ سانتی‌متر قد دارد). پس نمودارهایی که از مبدأ (صفر) شروع شده‌اند، اشتباه هستند. ۲. **شکل منحنی:** رشد انسان خطی و ثابت نیست. در کودکی رشد سریع است (شیب تند)، سپس در نوجوانی جهش رشد داریم و در بزرگسالی رشد متوقف می‌شود (نمودار افقی می‌شود). بنابراین نموداری که از یک ارتفاع مشخص شروع شده، به صورت منحنی بالا رفته و در انتها ثابت (افقی) شده است، بهترین نمایش برای رشد قد انسان است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۰ - تمرین ۴ **یافتن معادله خط از روی دو نقطه** **الف) نقاط $(0,0)$ و $(1,3)$:** چون خط از مبدأ $(0,0)$ می‌گذرد، عرض از مبدأ صفر است. می‌بینیم که $x$ از ۰ به ۱ رفته (۱ واحد) و $y$ از ۰ به ۳ رفته (۳ واحد). یعنی $y$ سه برابر $x$ است. $$y = 3x$$ **ب) نقاط $(1,1)$ و $(2,3)$:** تغییرات $x$: $2-1=1$ واحد. تغییرات $y$: $3-1=2$ واحد. شیب خط (تغییرات $y$ تقسیم بر $x$) برابر ۲ است. یعنی در فرمول $y=ax+b$، مقدار $a=2$ است ($y=2x+b$). حالا نقطه $(1,1)$ را تست می‌کنیم: $2(1) = 2$، برای اینکه بشود ۱، باید ۱ واحد کم کنیم. $$y = 2x - 1$$ **ج) نقاط $(0,1)$ و $(1,4)$:** نقطه $(0,1)$ نشان می‌دهد که عرض از مبدأ ($b$) برابر ۱ است. از نقطه اول تا دوم، $x$ یک واحد زیاد شده و $y$ سه واحد (از ۱ به ۴). پس شیب خط ۳ است. $$y = 3x + 1$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۰ - تمرین ۵ **یافتن محل برخورد با محورها** برای کشیدن یک خط یا شناختن ویژگی‌های آن، پیدا کردن محل تقاطع آن با محورهای $x$ و $y$ بسیار مهم است. **۱. محل برخورد با محور عرض‌ها ($y$):** ویژگی نقاط روی محور عمودی این است که طول ($x$) آن‌ها صفر است. پس $x=0$ قرار می‌دهیم: $$y = -(0) + 2 \Rightarrow y = 2$$ نقطه برخورد: $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ **۲. محل برخورد با محور طول‌ها ($x$):** ویژگی نقاط روی محور افقی این است که عرض ($y$) آن‌ها صفر است. پس $y=0$ قرار می‌دهیم: $$0 = -x + 2$$ $$x = 2$$ نقطه برخورد: $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۰ - تمرین ۶ **پیدا کردن مختصات نقطه روی خط** در صورت سوال به ما گفته شده است که «طول نقطه» برابر ۵ است. در زوج مرتب $(x, y)$، مولفه اول همان طول ($x$) است. پس باید $x=5$ را در معادله جایگذاری کنیم تا عرض ($y$) به دست آید. **مراحل محاسبات:** معادله خط: $y = -\frac{3}{5}x + 4$ جایگذاری $x=5$: $$y = -\frac{3}{5}(5) + 4$$ چون مخرج کسر ۵ است و در ۵ ضرب می‌شود، با هم ساده می‌شوند: $$y = -3 + 4$$ $$y = 1$$ **پاسخ نهایی:** مختصات نقطه برابر است با: $\begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۰۰ - تمرین ۷ **بررسی کامل یک خط** **الف) بررسی نقطه $\begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix}$:** باید ببینیم اگر $x=-2$ را در معادله بگذاریم، آیا $y$ برابر ۳ می‌شود؟ $$y = -\frac{1}{2}(-2) + 2 = 1 + 2 = 3$$ بله، پاسخ ۳ شد. پس این نقطه **روی خط قرار دارد**. **ب) پیدا کردن نقطه با طول ۱- ($x=-1$):** $$y = -\frac{1}{2}(-1) + 2 = 0.5 + 2 = 2.5$$ مختصات نقطه: $\begin{bmatrix} -1 \\ 2.5 \end{bmatrix}$ **ج) پیدا کردن نقطه با عرض ۲- ($y=-2$):** این بار $y$ را داریم و $x$ را می‌خواهیم: $$-2 = -\frac{1}{2}x + 2$$ $$-2 - 2 = -\frac{1}{2}x \Rightarrow -4 = -\frac{1}{2}x$$ $$x = -4 \times (-2) = 8$$ مختصات نقطه: $\begin{bmatrix} 8 \\ -2 \end{bmatrix}$ **د) محل برخورد با محورها:** * برخورد با محور $y$ها ($x=0$): $y=2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}$ * برخورد با محور $x$ها ($y=0$): $0 = -\frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 2 \Rightarrow x=4 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \end{bmatrix}$